مقدمة في جبر لي – INTRODUCTION TO LIE ALGEBRAS
مقدمة في جبر لي – INTRODUCTION TO LIE ALGEBRAS
المحاضر: الأستاذ الدكتور مصطفى مهنا
يقدم هذا الكورس دراسة تأسيسية للمفاهيم والبنى الرياضية المرتبطة بجبر لي (Lie Algebras)، مع التركيز على جبر لي محدود الأبعاد فوق مجال الأعداد المركبة.
يبدأ الكورس بالتعريفات الأساسية للجبر، والجبر التجميعي (Associative Algebra)، والجبر الإبدالي (Abelian Algebra)، ثم ينتقل إلى تعريف جبر لي ودراسة عملية قوس لي (Lie Bracket) وخصائصها الأساسية، ومنها الخطية الثنائية (Bilinearity)، والتماثل المضاد (Skew-Symmetry)، ومتطابقة جاكوبي (Jacobi Identity).
كما يتناول الكورس الجبر الجزئي من نوع لي (Lie Subalgebras)، والمثاليات (Ideals)، ومركز جبر لي (Center)، والمركزيات (Centralizers)، والمطبّعات (Normalizers)، مع شرح العلاقات بينها باستخدام التعريفات والبراهين والأمثلة الرياضية.
ويتضمن المحتوى دراسة عدد من الأنواع المهمة لجبر لي المرتبط بالمصفوفات، مثل الجبر الخطي العام والجبر الخطي الخاص وجبر المصفوفات المثلثية والقطرية والجبر المتعامد والجبر الوحدوي الخاص.
الموضوعات الأساسية للكورس:
- التعريفات والمفاهيم الأساسية لجبر لي.
- عملية قوس لي ومتطابقة جاكوبي.
- الجبر التجميعي والإبدالي وغير الإبدالي.
- الجبر الجزئي من نوع لي وخصائصه.
- المركز والمركزيات والمطبّعات.
- المثاليات وعلاقتها بالجبر الجزئي.
- الجبر الخطي العام والجبر الخطي الخاص.
- جبر المصفوفات المثلثية والقطرية.
- الجبر المتعامد والجبر الوحدوي الخاص.
- أمثلة تطبيقية وبراهين وتمارين رياضية.
الأهداف التعليمية:
بنهاية المحتوى المتاح، سيتمكن الطالب من فهم الخصائص الأساسية لجبر لي، وتحليل عمليات قوس لي، والتعرف على الجبر الجزئي والمثاليات، ودراسة الأنواع المهمة لجبر لي المرتبط بالمصفوفات باستخدام التفكير الرياضي والبراهين.
تفاصيل الدورة
مقدمة في جبر لي – INTRODUCTION TO LIE ALGEBRAS
المحاضر: الأستاذ الدكتور مصطفى مهنا
يقدم هذا الكورس دراسة تأسيسية للمفاهيم والبنى الرياضية المرتبطة بجبر لي (Lie Algebras)، مع التركيز على جبر لي محدود الأبعاد فوق مجال الأعداد المركبة.
يبدأ الكورس بالتعريفات الأساسية للجبر، والجبر التجميعي (Associative Algebra)، والجبر الإبدالي (Abelian Algebra)، ثم ينتقل إلى تعريف جبر لي ودراسة عملية قوس لي (Lie Bracket) وخصائصها الأساسية، ومنها الخطية الثنائية (Bilinearity)، والتماثل المضاد (Skew-Symmetry)، ومتطابقة جاكوبي (Jacobi Identity).
كما يتناول الكورس الجبر الجزئي من نوع لي (Lie Subalgebras)، والمثاليات (Ideals)، ومركز جبر لي (Center)، والمركزيات (Centralizers)، والمطبّعات (Normalizers)، مع شرح العلاقات بينها باستخدام التعريفات والبراهين والأمثلة الرياضية.
ويتضمن المحتوى دراسة عدد من الأنواع المهمة لجبر لي المرتبط بالمصفوفات، مثل الجبر الخطي العام والجبر الخطي الخاص وجبر المصفوفات المثلثية والقطرية والجبر المتعامد والجبر الوحدوي الخاص.
الموضوعات الأساسية للكورس:
- التعريفات والمفاهيم الأساسية لجبر لي.
- عملية قوس لي ومتطابقة جاكوبي.
- الجبر التجميعي والإبدالي وغير الإبدالي.
- الجبر الجزئي من نوع لي وخصائصه.
- المركز والمركزيات والمطبّعات.
- المثاليات وعلاقتها بالجبر الجزئي.
- الجبر الخطي العام والجبر الخطي الخاص.
- جبر المصفوفات المثلثية والقطرية.
- الجبر المتعامد والجبر الوحدوي الخاص.
- أمثلة تطبيقية وبراهين وتمارين رياضية.
الأهداف التعليمية:
بنهاية المحتوى المتاح، سيتمكن الطالب من فهم الخصائص الأساسية لجبر لي، وتحليل عمليات قوس لي، والتعرف على الجبر الجزئي والمثاليات، ودراسة الأنواع المهمة لجبر لي المرتبط بالمصفوفات باستخدام التفكير الرياضي والبراهين.
متطلبات الدورة
- الإلمام بأساسيات الجبر الخطي (Linear Algebra).
- معرفة سابقة بنظرية الزمر (Group Theory).
- فهم أساسيات نظرية الحلقات (Ring Theory).
- الإلمام بالفضاءات المتجهة والمصفوفات والتحويلات الخطية.
- القدرة على التعامل مع الرموز الرياضية والبراهين.
- الاستعداد لدراسة التراكيب الجبرية المجردة وحل التمارين الرياضية.
- توفر جهاز متصل بالإنترنت لمتابعة الكورس على منصة نور أكاديمي.
محتوى الدورة
ماذا ستتعلم؟
- فهم التعريفات والخصائص الأساسية لجبر لي.
- دراسة عملية قوس لي والخطية الثنائية والتماثل المضاد ومتطابقة جاكوبي.
- التمييز بين التراكيب الجبرية التجميعية والإبدالية وغير الإبدالية.
- التعرف على الجبر الجزئي من نوع لي والتحقق من شروط الانغلاق.
- فهم المثاليات والمركز والمركزيات والمطبّعات.
- تحليل العلاقات بين الجبر الجزئي والمثاليات.
- دراسة الجبر الخطي العام والجبر الخطي الخاص.
- التعرف على جبر المصفوفات المثلثية والقطرية والمتعامدة والوحدوية الخاصة.
- تطبيق التفكير الرياضي في حل الأمثلة والتمارين وإثبات النتائج.
